शून्य, आकार आणि अनंताची वाटचाल

हे चित्र पाहा. तुम्ही म्हणाल या चित्र काय , दोन बिंदू तर आहेत. ठीक तर. मग असं म्हणतो की ’A आणि B हे दोन बिंदू पाहा.’ ’प्रत्येक बिंदू हा बिंदू स्वयंभू असतो ’ हे आपण भूमितीमध्ये फार वर्षांपूर्वी शिकलो. तो शून्य मिती, शून्य लांबी व क्षेत्रफळ असलेला मानलेला आहे. (असल्या सुरुवातीनंतर गणित अप्रिय झाले नाही तरच नवल. :) )

आता माझ्याकडे एक नव्हे, दोन बिंदू आहेत. आता यांच्याबद्दल एकत्रितपणे काय म्हणता येईल? मग ’दोन भिन्न बिंदूंतून एक आणि एकच रेषा जाते’ हा पुढच्या सिद्धांत आपल्याला आठवेल. तर हे घ्या, दोन बिंदूंना जोडून मी ही रेषा- रेषाखंड A-B मी तयार केला.

आता मी द्विमितीमध्ये* प्रवेश केला आहे. आता द्विमितीमध्ये मला फक्त रेषाखंडच नव्हे तर इतर अनेक आकार माहित आहेत. या दोन बिंदूंसाठी त्यापैकी एखादा आकार योग्य ठरेल का? बहुतेकांच्या मनात येईल की दोन बिंदू असतील तर फक्त एक रेषाच असू शकते ना? त्रिकोणाला तीन बिंदू लागतात नि चौकोनाला चार...

जर तुम्ही असा विचार करत असाल तर तो चुकीचा आहे! तुमची पंचाईत अशी आहे की तुम्ही बिंदू जोडण्याच्याच संदर्भात विचार करत आहात. मुळात त्रिकोण आणि चौकोन यांच्यामध्ये तीन आणि चार नव्हे तर अनंत बिंदू असतात. कारण या आकृत्या रेषाखंडांनी बांधलेल्या आहेत, आणि प्रत्येक रेषाखंड ही अनंत बिंदूंची साखळी आहे. आता पुढचा प्रश्न विचारतो. 'हे दोन बिंदू कोणत्या आकृतीचे आहेत?' काहींच्या मनात उत्तर उमटेल, एका रेषेचे. हे पुन्हा चूक आहे. कारण रेषाखंड ही आकृती तुमच्यासमोर की आधीच काढून ठेवली आहे म्हणून तुम्हाला दिसते आहे. पण द्विमितीय प्रतलात याहून अनेक अदृश्य आकृत्या असतील ज्याचे केवळ हे दोनच बिंदू तुम्हाला दिसत असतील तर...

आता ही पुढची आकृती पाहा.

आता तुम्हाला दिसेल एक आयत (काळा) एक चौकोन (जांभळा), एक वर्तुळ (हिरवे), एक लंबवर्तुळ (लाल), एक त्रिकोण (निळा) आणि एक द्वादशकोन अर्थात चांदणी (फिकी निळी) इतके आकार दिसतील. या सार्‍यांचे वैशिष्ट्य असे की या त्या रेषाखंडाची टोके असणारे ते दोन बिंदू या सार्‍यांच्याच परिघावर आहेत. हे दोन बिंदू या सार्‍याच आकृत्यांचा भाग आहेत.

यातील चौकोन, त्रिकोण आणि चांदणी यांचे रेषाखंडाभोवती यांचे प्रतिबिंब घेतले तर आणखी एक चौकोन, त्रिकोण, चांदणी मिळेल, ज्यांच्या परिघावर A आणि B हे दोनही बिंदू असतील. मधल्या लंबवर्तुळाचा एक अक्ष (उभा) A-B हाच ठेवून दुसर्‍या (आडव्या) अक्षाची लांबी वाढवून वा कमी करुन आणखी लंबवर्तुळे मिळतील. A आणि B हे बिंदू यांच्याही परिघावर असतील.

त्यामुळे नुसते ते दोन बिंदू दिले, आणि ’मूळ आकृती ओळखा’ म्हटले तर असंख्य पर्याय आहेत. आता मी एक पाऊल पुढे टाकून C हा तिसरा बिंदूही दिला आणि तोच प्रश्न विचारला तर? काही जणांचे उत्तर येईल त्रिकोण... आणि ते दोन बिंदूंसाठी ’रेषाखंड’ या उत्तराइतकेच चूक असेल! कारण आताही तुम्ही केवळ तुमच्यासमोरील पर्यायांतून निवडत आहात. तुमच्यासमोर न दिसणार्‍या इतर अनेक आकृत्यांच्या परिघावर हे तीन बिंदू असू शकतील.

सर्वात सोपे उदाहरण म्हणजे या तीन बिंदूंतून जाणारे, आणि हा त्रिकोण पूर्णपणे पोटात घेणारे, एखादे वर्तुळ मी काढून दाखवू शकेन. किंवा निळ्या त्रिकोणाचे त्याच्या कर्णापाशी प्रतिबिंब घेऊन तयार होणारा त्रिकोण त्या कर्णापाशीच जोडून एक आयत तयार होईल. आता माझ्याकडे तीन पर्याय झाले. हाच आयत लांबीच्या बाजूला आणखी ताणून अनेक आयत मिळतील. आता हे तीन बिंदू त्याच्या कोपर्‍याशी नव्हे तर बाजूंच्या अधेमध्ये येतील. थोडक्यात मला अशा अनेक आकृत्या काढता येतील ज्यांच्या परिघावर हे तीन बिंदू असतील.

इथे एक महत्त्वाचा मुद्दा नोंदवून ठेवला पाहिजे. आपल्या समोर असलेले तीन बिंदू सांधणारा रेषाखंड आपल्याला उपलब्ध नाही. त्यामुळे या तीनही बिंदूंना सांधणार्‍या संभाव्य आकृतींच्या सूचीमधून रेषाखंड ही आकृती बाद करावी लागणार आहे.

प्रत्येक वेळी नवा बिंदू समाविष्ट झाला की काही संभाव्य आकृत्यांना तो बाद करत नेईल. यातून उपलब्ध बिंदूंच्या संचाला सामावून घेतील अशा आकृत्यांची सूची हळूहळू आक्रसत जात असते.

जर आपला समज असा असेल की आपल्यासमोर येणार्‍या - आधीच आलेल्या वा भविष्यात येणार्‍या - बिंदूंच्या संचांना सामावून घेईल अशी ’एक आणि एकच’ अशी आकृती आहे, तर नव्याने उपलब्ध झालेल्या प्रत्येक बिंदूमुळे आक्रसत गेलेल्या सूचीमध्ये पुरेसे बिंदू जमा झाल्यावर ती देव-आकृतीच शिल्लक राहील असे म्हणता येईल का? यासाठी ’पुरेसे म्हणजे किती बिंदू?’ या प्रश्नाचे उत्तर हे आधीच समाविष्ट झालेल्या बिंदूंवर अवलंबून राहील (उदा. C हा तिसरा बिंदू A-B रेषेवरच असेल तर तो संभाव्य आकृतींच्या सूचीतून रेषाखंड बाद करणार नाही.)

वास्तविक आयुष्यात अशी एक आणि एकच आकृती शिल्लक राहावी इतके बिंदू जमा होतच नसतात. आणि समजा, ती संख्या ठाऊक झाली, तरी तेवढे जमा करण्यास गुंतवावी लागणारी ऊर्जा व आर्थिक ताकद अमर्याद वेगाने वाढते. माणसाला कुठेतरी थांबावे लागते. त्या थांब्याच्या क्षणी उपलब्ध असणार्‍या बिंदूंतून सर्वाधिक संभाव्य(probable) आकृती निवडावी लागते. आणि तिच्यापासून आपण किती दूर असू शकतो याचा अदमासही (variance) घ्यावा लागतो.

पण इथेच न थांबता मी जर पुढच्या- म्हणजे तिसर्‍या मितीमध्येही प्रवेश केला, तर ज्यांच्या परिघावर हे तीन बिंदू असतील अशा इतर अनेक आकृत्या तिथे मिळू शकतात.

’जोवर आकृती रेखाटली गेलेली नाही, तोवर ती अस्तित्वातच नाही. त्यामुळे हे दोन बिंदू तिचे भाग आहेत की नाही हा प्रश्नच उद्भवत नाही.’ असा विचार तुम्ही केला असला... तर तो बरोबर आहे! कारण त्या आकृतीचे अस्तित्वच तुमच्यामुळे आहे. तुम्ही तिला जन्म दिला आहे. त्यानंतरच तिच्या संदर्भात तुम्ही बोलू शकत आहात. थोडक्यात आकृतीचे अस्तित्व आपण गृहित धरू शकत नाही. ती दिसत (व्यापक अर्थाने तिचे अस्तित्व सिद्ध होत) असेल तरच तिचा नि आपल्याला दिलेल्या बिंदूंचा संबंध आपण तपासू शकतो.

वरच्या उदाहरणात म्हटले तसे दोन बिंदूंमध्ये तुम्हाला सर्वात सोपी नि सोयीची म्हणून रेषा- रेषाखंड ही आकृती समजून पुढे जाल. तुम्ही असा विचार करणार नाही, की जे बिंदू या दोघांशी संबंधित आहेत, पण मला अजून दिसलेले नाहीत, त्यांना सोबत घेतले तर कदाचित त्यांतून एक सरळ रेषा काढून दाखवता येणारही नाही. भूमितीत एकरेषीय म्हणतात तसेच हे सारे बिंदू असतील याची खात्री देण्यासाठी कोणतीही अधिक माहिती तुमच्याकडे नाही. त्यामुळे तूर्त रेषाखंड ही त्या दोघांना जोडणारी आकृती आहे असे समजणे सयुक्तिक असले, तरी तिसरा बिंदू सापडल्यावर हा समज रद्द होऊ शकतो आणि दुसरीच आकृती निवडावी लागू शकते’ ही शक्यता तुम्ही मान्य करून ठेवलेली असते. थोडक्यात रेषाखंड हे अंतिम सत्य नाही हे तुम्हाला मान्य करावे लागते.

तिसरा वा चौथा बिंदू सापडल्यावर त्या सार्‍यांना सोबत घेऊन एकत्रितपणे रेषाखंडापासून, त्रिकोण वा वर्तुळ यासारखे सारे पर्याय मला तपासावे लागतात. आता त्या तिघांचा परस्परसंबंध भौमितिकदृष्ट्या कसा आहे हे मला निश्चित सांगण्यासाठी वर्तुळ निवडावे की त्रिकोण यासाठी काही वस्तुनिष्ठ निकष आवश्यक ठरतात.

दोन बिंदूंना सामावणार्‍या सार्‍या आकृत्यांकडे पाहिले तर त्या दोन बिंदूंना जोडणारी, कमीतकमी परिमिती (लांबी) असणारी आकृती म्हणजे रेषाखंड होता. इथे मी परिमितीऐवजी मी क्षेत्रफळ हा निकष घेतला, तरी रेषाखंडच सर्वात कमी क्षेत्रफळाचा (शून्य) ठरतो. पण मी तिसर्‍या मितीमध्ये गेलो, तर आणखी काही मोजमापे मला उपलब्ध होतील. ज्यांच्या आधारे मला उपलब्ध असलेल्या, तोवर पाहता आलेल्या बिंदूंच्या आधारे एक आकृती निवडता येईल. निकष बदलला की निवड बदलेल हे ओघाने आलेच. या दोघांच्या सोबतीला तिसरा बिंदू (C) जेव्हा प्रवेश करेल तेव्हा त्यांना जोडणारे वर्तुळ वा त्रिकोण यांची परिमिती वा क्षेत्रफळ (मी जो निकष निवडला असेल तो) मोजून, जो कमी भरेल (किंवा जास्तही, पुन्हा तो माझा निर्णय) ती आकृती मी त्या तीन बिंदूंची प्रातिनिधिक म्हणून निवडेन. बिंदूंची संख्या जसजशी वाढत जाईल, तसतशी मी निवडलेली आकृतीही बदलत जाण्याची शक्यता बरीच आहे.

मानवी जिज्ञासा आणि त्यातून मानवाने सिद्ध केलेल्या ज्ञानाचे नातेही असेच आहे. माहितीमध्ये जसजशी भर पडत जाते, तसतसे मानवाचे आकलन आणि त्यातून त्याने सिद्ध केलेले ज्ञान हे वास्तव नावाचे काही असेलच (हा तत्त्वज्ञानाच्या मंडळींसाठी ठेवलेला चोरदरवाजा) तर त्याच्या अधिकाधिक जवळ पोहोचत जातो. परंतु त्यालाही आपल्याला उपलब्ध असणारे बिंदू, त्यांची संख्या, आपल्या मेंदूची विविध आकृत्या वेगळ्या ओळखण्याची कुवत, आपण निवडीसाठी निवडलेले निकष यांच्यासंदर्भातच आपली निवड सिद्ध होत असते. आणि असे नवनवीन बिंदू माणसाच्या जाणिवेच्या कक्षेत सतत प्रवेश करत असतात, माणसाला जुन्या आकलनाला आव्हान देण्यास उद्युक्त करत असतात. हा प्रवास अनंत काळ चालू राहतो कारण माहितीस्वरूप बिंदूंची संख्या अनंत आहे आणि माणसाची जिज्ञासा अमर्याद.

नमनाला भूमितीचे महागाचे घडाभर तेल ओतले असले तरी यातून जगण्यातील विषय नि मुद्द्यांचेही आकलन होत जाते असे मला म्हणायचे आहे. ’मला दिसणार्‍या बिंदूना सामावून घेणारी एक आणि एकच आकृती आहे, ती कुण्या आकाशातल्या बापाने आधीच बिनचूक निवडून ठेवली आहे... आणि ती अमुक एका पुस्तकात रेखाटून ठेवली आहे.’ हा अंधविश्वास माणसाला एकाच आकृतीशी बांधून ठेवतो. पुढे आणखी बिंदू दिसू लागले, माणसाच्या जाणिवेचे नि आकलनाचे क्षेत्र विस्तारत गेले, तरीही तो ’जुनी आकृती रद्द करुन दुसरी स्वीकारावी लागेल का?’ याचा विचार करणे बंद करतो. बर्‍याच काळापूर्वी मोजक्या बिंदूंच्या आधारे तयार झालेल्या आकृतीला, तुटपुंज्या माहितीवर सिद्ध झालेल्या ज्ञानाला, अंतिम समजून आपल्या जिज्ञासेची हत्या करतो. वैद्यकीय शास्त्रात मेंदूमृत ही संकल्पना आहे, त्या धर्तीवर ज्ञानक्षेत्रात यांच्यासाठी जिज्ञासामृत अशी संकल्पना मांडायला हवी. आपला वैचारिक मृत्यू मान्य करण्याऐवजी ही मंडळी ज्ञानालाच कुंपण घातल्याची अगोचर घोषणा करतात, जगण्याऐवजी जिवंत राहण्याचे मर्यादित साध्य स्वीकारतात.

- oOo -

*रेषा अथवा रेषाखंड हा स्वत: एकमितीय असतो, परंतु आपण तिला द्विमितीय (X-Y) कार्टेशिअन सिस्टमच्या संदर्भात अभ्यासत असतो.

(आता बिंदू हे डेटा पॉईंट्स अर्थात निरीक्षणे/मोजमापे आणि आकृती म्हणजे संख्याशास्त्रीय मॉडेल असा विचार केला तर हे सारे विवेचन भूमितीमधून अंकगणित-संख्याशास्त्राच्या क्षेत्रात जाईल. हा प्रवास त्याचा पूर्वरंग म्हणून झाला... जो मुळात माझ्या उत्क्रांतीबाबतच्या विवेचनाची तार्किक बैठक म्हणून मांडत होतो. या दोन्हींबद्दल पुन्हा केव्हातरी.)