बुद्धिबळाचा अंत निश्चित आहे?

दहा-एक वर्षांपूर्वीची गोष्ट आहे. ऑफिसमध्ये चहापान करता-करता गप्पा चालू होत्या. विषय बुद्धिबळाचा होता. स्वत: उत्तम बुद्धिबळ खेळणारा आमचा बॉस म्हणाला,‘एक ना एक दिवस बुद्धिबळ हा खेळ बाद होऊन जाईल!’

त्याचा मुद्दा असा होता की बुद्धिबळातील प्रत्येक खेळीनंतर प्रतिस्पर्ध्याला उपलब्ध असणार्‍या खेळींची संख्या ही मर्यादित (finite) असते. त्या सार्‍यांची सूची बनवणे शक्य आहे. आता पहिल्या खेळाडूला या प्रत्येक खेळीसाठी प्रतिवाद करायचा आहे. पण त्या प्रत्येक खेळीनंतर पहिल्या खेळाडूलाही मर्यादित खेळ्या उपलब्ध आहेत. त्यांचीही सूची करता येईल...

मुद्दा अगदी वाजवी होता. कारण आता या सार्‍या खेळींची ’ख्रिसमस ट्री’सदृश एक उतरती भाजणी तयार करता येईल. प्रत्येकी खेळी ही त्या वृक्षासाठी फांदीचा-फुटवा असेल. आणि या प्रत्येक फुटव्यापासून तयार झालेली फांदी हा– एक फांदी कमी असलेला, परंतु मूळ ट्रीसारखाच ट्री तयार होईल. प्रत्येक फांदीच्या टोकाशी पोहोचलो, की त्या मार्गाने गेले असता सामन्याचा काय निकाल लागेल हे निश्चित होईल.

आता सामन्याची पहिली खेळी करणार्‍या खेळाडूला विजय मिळवून देणार्‍या सर्व फांद्या बिनचूक माहित असतील. त्यातील एका मार्गाने तो खेळत राहिला की विजय निश्चित असेल. त्यामुळे - पांढर्‍या मोहर्‍यांनिशी - पहिली खेळी करणारा हा नेहमीच जिंकेल. काळ्याला केवळ अपघातानेच जिंकण्याची संधी राहील. त्यातही पांढर्‍याने गाफीलपणे एखादी खेळी करून ठरवलेला मार्ग सोडला, तरीही ही नाही दुसरी विजयी फांदी पकडून तो पुन्हा गाडी रूळावर आणू शकतो. त्यामुळे आता सामना खेळण्याला काहीच अर्थ राहणार नाही.

खेळ्यांचे झाड.

पत्ते अथवा मैदानी खेळ खेळत असताना असलेल्या यादृच्छिकतेचा(randomness) अथवा पर्यावरणीय घटकांचा कोणताही परिणाम या खेळावर होत नाही. बैठे खेळ जरी म्हटले, तरी पत्त्यांमध्ये वितरणामध्ये यादृच्छिकता येते; फासे वापरून खेळले जाणारे खेळ तर त्यावर अवलंबूनच असतात. खेळातील सार्‍या शक्यता मर्यादित(finite) आणि निहित(defined) असल्याने सूचिबद्ध करता येत असलेला (enumerable) बुद्धिबळ हा अपवादात्मक असा खेळ आहे. त्यामुळे तो बाद होण्याची शक्यता(possibility) नक्कीच आहे... पण याची संभाव्यता (probability) किती हा प्रश्न माझ्यातील शक्यताविज्ञानाच्या^(१) विद्यार्थ्याला टोचू लागला.

खेळ, सामने नि निकाल हा बराच पुढचा पल्ला झाला. सुरुवातीला मोहरे बाजूलाच ठेवले नि निव्वळ पटाकडे पाहून विचार करण्याची सुरुवात केली, नि फार वर्षांपूर्वी ऐकलेली एक दंतकथा आठवली. तुमच्यापैकी अनेकांना आठवत असेल.

एका कलाकारावर संतुष्ट होऊन राजाने त्याला ‘हवे ते माग, मी देईन. या जगात असे काहीच नाही जे मी तुला देऊ शकणार नाही.’ असे आढ्यतेखोरपणे सांगितले. त्यावेळी राजाच्या समोरचा बुद्धिबळाचा पट पाहून कलाकार हसून म्हणाला, ‘महाराज, मला फार काही नको, तुमच्या त्या पटावरील प्रत्येक घरासाठी त्या घराच्या मागील घराच्या दुप्पट तांदुळाचे दाणे मला द्या.’ राजा आढ्यतेखोरपणे हसला नि म्हणाला, ‘बस, एवढेच? मी तर तुला भरपूर पैसे, दागदागिने, जडजवाहीर, शेतीवाडी काय वाटेल ते देऊ शकतो.’ कलाकार म्हणाला, ‘नको महाराज, मला एवढेच पुरे.’

पटावरील पहिल्या घरासाठी एक, दुसर्‍यासाठी दोन, तिसर्‍यासाठी चार, चौथ्यासाठी आठ, पाचव्यासाठी सोळा... असे करत शेवटच्या घरासाठी २ चा त्रेसष्टावा घात (२‍^६३) इतके दाणे राजाने त्या कलाकाराला देणे अपेक्षित होते. या सार्‍यांची बेरीज केली तर ती (२‍^६४ - १) इतकी भरते. अर्थातच राजाकडे तेवढे धान्यही नव्हते की त्यांची मोजदाद करायला मनुष्यबळ. कलाकाराचे देणे भागवणे अशक्य झाल्याने लज्जित झालेल्या त्या राजाचे गर्वहरण होते अशी ती कथा.

कुणी म्हणेल,‘राजा पण खुळाच आहे. इतके दाणे मोजत कशाला बसायचे? दाणे मोजण्यापेक्षा त्यांचे वजन करणे जास्त सोपे आहे. त्याने पन्नास, शंभर वा त्या काळी वजनाचे जे काही सर्वात लहान माप असेल ते घेऊन ते भरणारे तांदुळाचे दाणे मोजायचे. तांदुळ-संख्येच्या मोजणीचे हे माप जिततके लहान, तितके दाणे लवकर मोजून होतील. आता पटीच्या हिशोबाने या (२‍^६४ - १) दाण्यांसाठी किती किलो तांदुळ द्यावे लागतील याचे मोजमाप करता येईल. झाले काम.’

दाणे मोजताना लागणारी ऊर्जा, मेंदूची जागरूकता (किंवा उलट दिशेने सहनशक्ती) ही वजन करताना लागणार्‍या ऊर्जेपेक्षा बरीच जास्त असते. त्यामुळे वजन करणे हे कमी थकवणारे असते. त्यामुळे निव्वळ दाणे-मोजणीची जागा वजन-मोजणीने बदलून घेतली, तर मोजणीचे कष्ट कमी होतील हे यामागचे गृहितक आहे. पण...असे म्हणणार्‍याने मोजणीतील तसंच पटीच्या गणितातील त्रुटींचा विचार केलेला नाही!

एखाद्या किरकोळ भाजीविक्रेत्याशी अथवा फळविक्रेत्याशी बोलून पाहा. ठोक बाजारातून त्याने वीस किलो माल आणला, तर तो साधारण साडे-एकोणीस किलो मालच विकत असतो. याचे कारण आठ ते दहा जणांना तो अर्धा किलो, एक किलो मोजून देतो तेव्हा प्रत्यक्षात त्याला त्याहून काही ग्रॅम अधिक माल द्यावा लागतो. कारण तराजूची तागडी नेहमी आपल्या सोयीच्या बाजूला कललेली असावी असा ग्राहकाचा आग्रह असतो. (विक्रेता तराजू वा मापे स्वत:च्या सोयीसाठी अनुकूल करून ही त्रुटी भरून काढू शकतो. पण तो फसवणुकीचा भाग आहे.) त्यामुळॆ हे वीस किलो दहा जणांत वाटले गेले तर होणारा तोटा हा केवळ दोघांत वाटले तर होणार्‍या तोट्याहून अधिक असतो. विभागणी संख्या जितकी अधिक तितका तोटा- किंवा गणिताच्या भाषेत मोजणीची त्रुटी (approximation error) अधिक.(आता डिजिटल वजनकाट्यामुळे विक्रेत्याच्या दृष्टीने स्थिती सुधारली आहे.)

वर म्हटले तसे, माप जितके लहान तितके त्यात मावणार्‍या दाण्यांची संख्या कमी. म्हणजे दाणे लवकर मोजून होतील. पण त्याचवेळी त्या मापाने धान्य अधिक वेळा मोजावे लागेल. याउलट माप मोठे घेतले तर त्याच्या साहाय्याने धान्य-मोजणीची संख्या कमी असेल. परंतु एका मापात असणार्‍या दाण्यांची संख्या अधिक असल्याने दाणे-मोजणी अधिक जिकीरीची होणार.

‘Type-I error’ आणि ‘Type-II error’ असे त्रुटींचे दोन प्रकार संख्याशास्त्रीय (Statistical) निष्कर्षामध्ये अंतर्भूत असतात. या दोघी परस्पर-विरोधी परिणाम घडवणार्‍या असतात. दोघींनाही एकाच वेळी कमी करणे शक्य नसते. एकीला कमी करू गेले तर दुसरी वाढते. तांदुळ-मोजणीचे हे उदाहरण या दोन संकल्पनाचे प्रभाव अतिशय सोप्या प्रकारे समजावून देते आहे. तिथे त्या दोहोंना अनुक्रमे false-positive आणि false-negative (चूक असता बरोबर असा निवाडा देणे आणि उलट) असे ढोबळमानाने म्हटले जाते. त्याच धर्तीवर आपल्या उदाहरणासंदर्भात या दोन्ही मोजण्यांमध्ये येणार्‍या त्रुटींना अनुक्रमे ‘विभागणीतील त्रुटी’ आणि ‘एकत्रीकरणातील त्रुटी’^(२) असे म्हणता येईल. आता मोजणी करताना राजाला या दोन्ही (वजन नि संख्या) मोजणींच्या संख्येचा सुवर्णमध्य साधणे हे आव्हान असेल.

विक्रेत्यांच्या हाती डिजिटल वजन-काटा हे अत्याधुनिक उपकरण आले आहे, त्यातून ठोक मालाच्या विभागणीतील त्रुटी कमी होऊन त्याचे नुकसानीचे प्रमाण आता नगण्य झाले आहे. त्याचप्रमाणे तुमच्या-आमच्या सर्वांच्या हातीही संगणक नावाचे बहुगुणी उपकरण आले आहे, जे तांदुळ मोजणार्‍या राजाच्या काळी नव्हते. अशा अवाढव्य मोजणीचे काम या नव्या उपकरणाने करायचे ठरवले तर...? ‘एक-एक दाण्याची मोजणी आपण वजन-मोजणीने बदलून घेत मोजणीतील कष्ट घटवू शकतो, तसेच संगणकाच्या मोजणी-क्षमतेचा वापर करून करु शकतो का?’ या प्रश्नाला सामोरे जाण्याचा प्रयत्न करू.

संगणकाच्या स्मरणमंजुषेच्या व्याप्तीसाठी बाईट(byte) हे एकक वापरले जाते. त्याच्या पटींची गणिते पाहिली, तर ज्याला एक पेटाबाईट(petabyte) म्हणतो ते म्हणजे १०‍ या आकड्याचा जेमतेम बारावा घात आहे. २ चा दहावा घात म्हणजे १०२४ हा अगदी ढोबळ मानाने दहाच्या तिसर्‍या घाताच्या जवळ जातो. त्याचप्रमाणे अगदी ढोबळ गणिताने पाहिले तर आपल्या मोजणीसाठी आवश्यक असणारी २^६३ ही संख्या १०^१९च्या जवळपास जाते. १०‍^१८ या आकड्याला गणिती भाषेत Quintillion म्हटले जाते. आता आपल्याला १० क्विंटिलियन इतके तांदुळाचे दाणे मोजायचे आहेत. सर्वसाधारण संगणकाची कुवत पाहता एवढ्या संख्येने दाणे मोजायचे तर विशेष गणनपद्धती (algorithm) विकसित करावी लागेल.

बुद्धिबळाचा पट हा आठ ओळी नि आठ स्तंभांचा चौरस असतो. खेळ सुरू करण्यापूर्वी दोन्ही बाजूंनी पहिल्या दोन ओळीत काळ्या नि पांढर्‍या रंगाचे मोहरे उभे केले जातात. मधल्या चार ओळी मोकळ्या राहातात. पांढरा पहिली खेळी करत असतो. त्यासाठी त्याला पुढची आठ प्यादी आणि दोन घोडे उपलब्ध असतात. प्रत्येक प्यादे हे पहिल्या खेळीत एक किंवा दोन घरे पुढे जाऊ शकते तर घोड्यांना त्यांच्या पहिल्या घरातून बाहेर पडण्यासाठी दोन पर्याय असतात. पहिल्या खेळीसाठी असे एकुण वीस पर्याय पांढर्‍याला उपलब्ध असतात.

पांढर्‍याच्या खेळीनंतर समोरून काळ्या मोहर्‍यांसह खेळणार्‍यालाही तितकेच पर्याय उपलब्ध असतात. त्यानंतर पटावरची परिस्थिती जसजशी बदलत जाते तसतसे प्रत्येक खेळाडूला उपलब्ध खेळ्यांची संख्या कमीजास्त होत जाते.

समजा सुरुवात करताना पांढर्‍याने e2-e4 खेळी केली असेल तर पटाची स्थिती एका प्रकारची असेल. त्याऐवजी त्याने c2-c4 केली असेल तर स्थिती वेगळी असेल. म्हणजे मागची खेळी कुठली यानुसार पटाची स्थिती आणि पुढच्या खेळ्यांच्या पर्यायांची उपलब्धता, त्यांची संख्या बदलत जाते.

e2-e4 opening.

c2-c4 opening.

आता समजा पांढर्‍याने c4 किंवा e4 पैकी कोणतीही खेळी केली तरी काळ्याने त्याचा g स्तंभातील घोडा f स्तंभात आणून ठेवला. तर दोन्ही परिस्थितीमध्ये पटाची स्थिती अनुक्रमे अशी दिसेल. दोनमधील फरक पाहिला तर पहिल्या शक्यतेमध्ये हा घोडा पांढर्‍याच्या पुढे आलेल्या प्याद्याला ठार मारण्याची धमकी देतो आहे. त्याचबरोबर त्याने ती कृती न करण्याचे ठरवले तर ती एका जागा त्याला बंद होते आहे. याउलट दुसर्‍या शक्यतेमध्ये त्याला ती खुली राहिली आहे.

पांढर्‍या मोहर्‍यांची पहिली खेळी २० पर्यायांची, त्यावर काळ्या मोहर्‍यांची पहिली खेळी पुन्हा वीस पर्यायांची, त्यानंतर- पहिल्या दोन खेळ्या केल्यानंतर तयार झालेल्या पट-स्थितीसंदर्भात - पुन्हा पांढर्‍याच्या खेळीसाठी समजा १९ खेळी शक्य असतील, तर खेळ सुरू होऊन तीन खेळ्यांनतर पटाच्या स्थितीचे २०x२०x१९ = ७६०० पर्याय दिसतात. प्रत्येक खेळीगणिक हा आकडा भूमितीश्रेणीने वाढत जातो. निव्वळ घरांचा विचार केला तर प्रत्येक घरागणिक मोजणी २च्या घाताने वाढते हे आपण सुरूवातीला पाहिले. इथे तर तो तिसर्‍या खेळीअंती ८ ऐवजी ८०००च्या जवळ पोहोचतो आहे. शक्यतांच्या संख्येतील वाढीच्या वेगाचा अंदाज यातून येतील.

e2-e4, N-f6.

c2-c4, N-f6.

निव्वळ घरांच्या हिशोबाचा विचार केला, तर सर्व घरे सारखीच असल्याने मोजणी सहजपणे पटींच्या हिशोबात जात होती. इथे मोहर्‍यांच्या स्थितीनुसार प्रत्येक पट-मांडणीला(board-position) पुढील उपलब्ध खेळ्यांची संख्या कमी-जास्त होणार आहे. एक घोडा पटांच्या मध्यभागी असलेल्या C-3 ते F-6 (वरचे पट पाहा) या सोळा घरांमध्ये असतो, तेव्हा त्याच्या जास्तीत-जास्त आठ संभाव्य खेळी होऊ शकतात. तोच घोडा इतर चार स्तंभ आणि/किंवा पट्टीमध्ये असेल तर पटाच्या मर्यादेमुळे ही संख्या कमी होईल. त्याचप्रमाणे त्याच्या संभाव्य जागी आपलेच अन्य एखादे मोहरे असेल तर त्याला ती जागाही बंद होईल (प्रतिस्पर्ध्याचे असेल तर मारण्याचा विचार करावा घ्यावा लागेल.). घोडा निदान इतर मोहर्‍यांवरून उडी मारू शकतो. इतर मोहर्‍यांना अन्य मोहर्‍यांचा निव्वळ अडथळाही अनेक जागा बंद करू शकतो. या सार्‍या बंधनांमुळे सुरुवातीच्या तांदुळांच्या गणितात जसे ‘प्रत्येक घराला दुप्पट’ असे सोपे गुणाकाराचे गणित होते तसे राहात नाही. त्यामुळे काही ‘फांद्या’ अधिक लांबीच्या तर काही आखूड अशी स्थिती होते. त्यातून मोजणी अधिकच जिकीरीची होत जाते.

सुरुवातीला म्हटल्याप्रमाणे या पहिल्या दोन खेळींप्रमाणेच प्रत्येक खेळीनंतर पुढच्या खेळींची बिनचूक यादी करणे शक्य आहे. मानवी मेंदूच्या गणनशक्तीला हे शक्य आहे! परंतु त्यासाठी लागणारी ऊर्जा, चिकाटी आणि वेळ प्रचंड आहे. आणि म्हणूनच हे आजवर शक्य झालेले नाही. यात रस असणार्‍या अनेक व्यक्तींचा एक गट सामूहिकपणे कदाचित हे साध्य करू शकेल. माणसाच्या मदतीला आता संगणक असल्याने त्याची मदतही घेता येईल. मुद्दा एवढाच आहे की, ‘तसे करणे शक्य आहे का आणि या सार्‍या शक्यता कोण मांडून पाहणार?’

बुद्धिबळ– विशेषत: जागतिक– स्पर्धा होतात, तेव्हा त्या सामन्याचे समालोचन करणारे खेळाडू ‘सद्यस्थिती पाहता कुणाचे पारडे जड आहे नि कसे’ याबाबत तुम्हाला सांगत असतात. त्यामध्ये ते त्यांना चटकन सुचतील त्या पुढच्या खेळ्यांकडे पाहून आपला अंदाज बांधत असतात. इंटरनेटवर पाहात असाल, तर बाजूला ‘Stockfish’ किंवा ‘Houdini’ तुम्हाला सांगतो की सध्या कुणाची स्थिती चांगली आहे नि तो जिंकण्याची शक्यता किती आहे. हे दोन ‘संगणक-खेळाडू’ अथवा ‘एंजिन्स’ असतात. 

हे खेळाडू मानवी असतील असोत वा एंजिन्स, यांना शेवटपर्यंत सार्‍या खेळ्यांच्या सर्व शक्यता मोजत जाणे शक्यच नसते. एंजिन्स सोळा ते अठरा खेळ्यांपर्यंत जाऊ शकतात. त्याहून अधिक पुढे जाण्यासाठी आवश्यक असणारी संगणक क्षमता आजही अस्तित्वात नाही हे ऐकून अनेकांना धक्का बसेल, पण हे सत्य आहे. महासंगणकांचे जाळे उभारले तर ही कुवत थोडी वाढवता येईल. माणसाला तर जेमतेम सहा-सात खेळ्यांपर्यंतचे मोजता येईल. 

त्यामुळे हे खेळाडू असोत की एंजिन्स, दोघेही वास्तवात एक एक खेळी नि त्यापुढच्या शक्यता पाहात नाहीत; दोघांकडेही यापूर्वीच्या खेळांचा डेटाबेस असतो. खेळाडू असतील तर ते त्यातून सर्वाधिक संभाव्य अथवा पूर्वी पाहिलेल्या शक्यतांचा विचार करतात.

‘Stockfish’ अथवा ‘Houdini’ तर त्यातून सरळ पटाची सद्यस्थिती ती स्थिती आलेल्या पूर्वीच्या सार्‍या सामन्यांचे निकाल पाहून त्यांच्या सरासरीनुसार कोण वरचढ दिसते हे सांगत असतात. म्हणजे ते विश्लेषण करत बसत नाहीत. त्याऐवजी चौसष्ट घरांमध्ये विविध ठिकाणी स्थानापन्न झालेल्या मोहर्‍यांच्या स्थितीवरून ते पटाची ओळख म्हणून पटस्थितीशी एकास-एक नाते सांगणारा एक निदर्शक आकडा अथवा शब्दसमूह (checksum) तयार करतात. 

यापूर्वी झालेल्या सामन्यांमधील पटांच्या प्रत्येक पटस्थितींचे असे निदर्शक आधीच तयार असतात. आता चालू सामन्यातील हा आकडा कोणकोणत्या सामन्यांच्या डेटामध्ये दिसतो,त्यांचा निकाल काय लागला होता हे पाहून त्यानुसार निकाल काळा वा पांढरा विजेता होण्याच्या बाजूला मोजणी करत जातात. अखेरीस यातून दोन्ही प्रकारच्या मोहर्‍यांच्या विजयांची संख्या मिळते. त्यांचे गुणोत्तर हे चालू सामन्याचे भाकित म्हणून ते सांगत असतात.

हे ही वाटते तितके सोपे नाही. ‘सर्च’ ही प्रक्रिया किती किचकट असते हे संगणकावर प्रत्यक्ष प्रोग्रामिंग करणार्‍यांनाच ठाऊक आहे. आणि वर दिलेल्या प्रक्रियेमध्ये कित्येक लक्ष सर्च करायचे असतात. त्यासाठी पुन्हा वेगळ्या प्रक्रियेची (algorithm) शोधाशोध, अंमलबजावणी, नवा पर्याय, अंमलबजावणी या मार्गाने प्रवास करत राहावे लागते. यासाठी अनेक मंडळी वेगवेगळ्या मार्गाने प्रयत्न करत असतात. 

यातूनच वर उल्लेख केलेल्या Stockfish, Houdini यांच्याखेरीज Komodo, Lc0 (Leela Chess), Fritz वगैरे एंजिन्स अथवा संगणक-खेळाडू तयार झाले आहेत. ही मंडळी इतकी बलशाली झाली आहेत की आता त्यांच्या-त्यांच्यातच Computer Chess Championships होऊ लागल्या आहेत. बुद्धिबळाचे गणित सोडवता-सोडवता संगणकालाच त्याची गोडी लागली असावी बहुधा.

ही एंजिन्स केवळ आकडेमोड करत असतात. आणि म्हणूनच एखादी नवी, अनपेक्षित खेळी करुन एखादा खेळाडू त्यांचे अंदाज चुकवू शकतो. तर उलट दिशेने एंजिन्सची कुवत नि सामान्य खेळाडूची कुवत यात प्रचंड फरक असल्याने खेळाडू तितकी खोलवर मोजणीही करू शकत नाहीत. आणि म्हणून असा ‘निश्चित अंत असलेला’ हा खेळ अजूनही जिवंत आहे.

संगणकाची प्रगती वेगाने होत असल्याने कदाचित तो अंत जवळ येतो आहे असे भासत राहील. पण इंग्रजीत म्हणतात तसे ‘so close, yet so far’ अशीच स्थिती राहील असा माझा होरा आहे. कारण ज्या वेगाने संगणक प्रगती करत आहेत, त्याच वेगाने शस्त्रास्त्रनिर्मिती नि ती वापरण्याची माणसांतील खुमखुमीही. त्याला खतपाणी घालायला नि वारा पाजायला धर्म, वंश, देश, आर्थिक विषमता वगैरे घटकही जोमाने काम करत आहेत. त्यामुळे बुद्धिबळ रद्दबातल करणारा संगणक तयार होण्यापूर्वीच माणसातील हिंसा नि त्याच्या हातातील शस्त्रे त्या संगणकासह सार्‍या मानवी प्रगतीचा विध्वंस करण्याइतपत प्रगती(?) करतील. त्यामुळे या खेळाचा अंत होण्याआधी मानवजातीचा अंत होईल अशी मला खात्री आहे.

बुद्धिबळाचा पट आणि तांदुळ मोजणीचे काम यांसारख्या जगण्यातील काही अतिशय सामान्य वाटणार्‍या गोष्टी संगणकालाही झेपणार नाही एवढ्या व्याप्तीचे काम तुमच्या पुढ्यात आणून टाकू शकतात. आपल्या बुद्धीला फार ताण देत देण्याची तसदी घेतली नाही, तर ते त्या राजासारखेच सोपे वाटू शकते. शक्यतांचा विचार केला तर मात्र त्याची व्याप्ती आणि जटीलता ध्यानात येते. आपण त्यावर काढलेला उपाय हा बिनचूक तर नाहीच, पण इतर कुणाला त्याहून चांगला सापडू शकेल, याचे भान जिवंत राहते. आणि ते तसे राहिले तर अस्मिता नि उद्दामपणापासून दूर राहून माणूस नम्र राहतो. त्या राजासारखे गर्वहरण होण्याची वेळ येत नाही.

- oOo -

(१). सुरुवातीला केवळ आकडेमोडीशी संबंधित तंत्रे समाविष्ट असलेला Statistics हा विषय मराठी भाषेमध्ये ‘संख्याशास्त्र’ या नावाने ओळखला जाऊ लागला. परंतु पुढे विश्लेषण व भाकिते करण्यास उपयुक्त असा स्वतंत्र विषय म्हणून तो उदयाला आला. ‘संभाव्यता’ (Probability) ही संकल्पना हा त्याचा मुख्य आधार होता. सरसकट संख्याशास्त्र या नावाने आता याला ओळखणे चुकीचे ठरते आहे. यासाठी निव्वळ आकडेमोडीशी (data) संबंधित अशा संख्याशास्त्रीय पद्धतींचा वापर करताना मी त्याला संख्याशास्त्र याच नावाने संबोधतो. तर Probability theory आधारे उभ्या असलेल्या उर्वरित भागाला ‘शक्यताविज्ञान’ ही संज्ञा वापरतो. खरेतर त्याला संभाव्यताविज्ञान म्हणायला हवे. कारण संभाव्यता ही शक्यतेच्या पुढचा टप्पा आहे. परंतु शक्यता हा शब्द तसा सोपा नि रुळलेला असल्याने तो वापरला आहे.

(२). भारतीय राजकारणाच्या संदर्भात यांना ‘फूट त्रुटी’ आणि ‘युती त्रुटी’ही म्हणता येईल. :) फूट पडल्याने दोन बाजूंचे काही मतदार कमी होतील वा काही नवेही मिळतील. तर युती करूनही दोन्ही घटकपक्षांच्या मतांची बेरीज पदरी पडेल असे नाही.

---

संबंधित लेखन:

१. बुद्धिबळातील ‘मार्शल’ आर्ट